Question

一道数分题已知:An的极限为a,证明:(A1+A2+A3+…An)/n的极限也为a.

Answer 1

这个在许多书上是做为例题的.也就是用定义验证一下,并不难.

由已知,对任意epslon > 0,存在N > 0,当n > N时,有

|An - a| < epslon / 2

记Bn := (A1 + A2 + A3 + … An) / n,于是有

|Bn - a|

= ((A1 - a) + (A2 - a) + (A3 - a) + … (An - a)) / n

= ((A1 - a) + (A2 - a) + (A3 - a) + … (AN - a)) / n + ((A(N+1) - a) + (A(N+2) - a) + (A(N+3) - a) + … (An - a)) / n

前一大项（从A1到AN）分子是个常数,分母无限增大,则当n充分大时（这里记n > N' >= N时）小于epslon / 2；后一大项（从A(N+1)到An）则由条件知显然小于epslon / 2.

于是我们就找到了一个N',它满足

n > N'时,有

|Bn - a| < epslon

成立.命题得证.