Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+[1/n]），则an= ___ ．

Answer 1

解题思路：由n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，总结规律，猜想出a_n．

a₁=2+ln1，

a₂=2+ln2，

a3=2+ln2+ln

3

2=2+ln3，

a4=2+ln3+ln

4

3=2+ln4，

由此猜想a_n=2+lnn．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，a₁=2+ln1，成立．

②假设当n=k时等式成立，即a_k=2+lnk，

则当n=k+1时，ak+1=ak+ln(1+

1

k)=2+lnk+ln[k+1/k]=2+ln（k+1）．成立．

由①②知，a_n=2+lnn．

故答案为：2+lnn．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律合理地进行猜想．