解题思路：（1）由已知，对函数求导，结合已知可判断f′（x）的符号，从而可判断函数在（a，b）上的单调性．
（2）由（1）及已知可得，f′（-1）=
−2(1+t−3)
16
=[1/2]可求t，当x＞0时，代入f（x）=
2(x+1)
3+
x
2
=
2(x+1)
(x+1)
2
−2(x+1)+4
=[2
(x+1)+
4/x+1
−2]，利用基本不等式可求f（x）的最大值
（1）∵f′(x)＝
2(x2+3)−2x(2x−t)
(x2+3)2=
−2(x2−tx−3)
(x2+3)2=−
2(x−a)(x−b)
(x2+3)2＞0
∴函数f（x）在区间（a，b）上的单调递增 （5分）
（2）由（1）及已知可得，f′（-1）=
−2(1+t−3)
16=[1/2]
∴t=-2 （7分）
当x＞0时，由f（x）=
2(x+1)
3+x2=
2(x+1)
(x+1)2−2(x+1)+4=[2
(x+1)+
4/x+1−2]≤
2
2
(x+1)•
4
x+1−2＝1 （11分）
当且仅当x+1=[4/x+1]即x=1时取等号
∴f（x）的最大值为1（12分）
点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，导数的几何意义的应用及基本不等式在函数的最值求解中的应用，属于函数知识的综合性应用
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