Question

设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．

Answer 1

解题思路：（1）由f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，知f′（x）=e^x-2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．

（2）设g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2-1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e^x＞x²-2ax+1．

（1）∵f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，

∴f′（x）=e^x-2，x∈R．

令f′（x）=0，得x=ln2．

于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）

f′（x） - 0 +

f（x） 单调递减 2（1-ln2+a） 单调递增故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），

单调递增区间是（ln2，+∞），

f（x）在x=ln2处取得极小值，

极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值．

（2）证明：设g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，

于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．

由（1）知当a＞ln2-1时，

g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．

于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．

于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．

而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．

即e^x-x²+2ax-1＞0，

故e^x＞x²-2ax+1．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．