如图,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.

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  • 解题思路:(1)由角平分线知∠ADG=∠CDG,由平行知∠CDG=∠AGD所以,∠ADG=∠AGD,即AD=AG,同理BF=BC,又AD=BC,所以AG=BF,去掉公共部分,则有AF=GB;

    (2)由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线,所以可以证明△EFG是直角三角形.

    (3)要使得△EFG成为等腰直角三角形,则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可.

    在平行四边形ABCD中

    ∵AD∥BC,AB=CD,

    ∴∠ADG=∠CDG,

    又∵∠AGD=∠CDG,

    ∴∠ADG=∠AGD,

    ∴AD=AG.

    同理BF=BC,

    ∴BF=AG,

    即AF=BG;(5分)

    (2)∵∠CDG=[1/2],

    ∠ADC=∠DCF=[1/2]∠BCD,

    而∠ADC+∠BCD=180°,

    ∴∠CDG+∠DCF=90°,

    ∴∠FEG=∠CED=90°,

    即△GEF是直角三角形;(9分)

    (3)当平行四边形ABCD是矩形时,△GEF是等腰直角三角形,

    ∵∠DCF=∠CDG=45°,

    ∴∠EFG=∠EGF=45°,

    ∴△GEF是等腰直角三角形.(12分)

    点评:

    本题考点: 平行四边形的性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 此题考查了平行四边形的基本性质,以及直角三角形的判定,难易程度适中.