如图1,点A'B'的坐标分别为(2,0)和(0,-4),将△A'B'O绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△ABO,点A'

1个回答

  • (1)A(0,2),B(4,0)(2分)

    设直线AB的解析式y=kx+b,则有

    b=2

    4k+b=0

    解得

    k=−1

    2

    b=2

    ∴直线AB的解析式为y=−

    1

    2

    x+2(3分)

    (2)i)①点E在原点和x轴正半轴上时,重叠部分是△CDE.

    则S△CDE=

    1

    2

    BC×CD=

    1

    2

    (4−x)(−

    1

    2

    x+2)

    =

    1

    4

    x2−2x+4

    当E与O重合时,CE=

    1

    2

    BO=2

    ∴2≤x<4(4分)

    ②当E在x轴的负半轴上时,设DE与y轴交于点F,则重叠部分为梯形

    ∵△OFE∽△OAB

    OF

    OE

    OA

    0B

    1

    2

    ,

    ∴OF=

    1

    2

    OE

    又∵OE=4-2x

    ∴OF=

    1

    2

    (4−2x)=2−x

    ∴S四边形CDFO=

    x

    2

    ×[2−x+(−

    1

    2

    x+2)]

    =−

    3

    4

    x2+2x(5分)

    当点C与点O重合时,点C的坐标为(0,0)

    ∴0<x<2(6分)

    综合①②得S=

    1

    4

    x2−2x+4(2≤x<4)

    −3

    4

    x2+2x(0<x<2)

    (7分)

    ii)①当2≤x<4时,S=

    1

    4

    x2−2x+4=

    1

    4

    (x−4)2

    ∴对称轴是直线x=4

    ∵抛物线开口向上,

    ∴在2≤x<4中,S随x的增大而减小

    ∴当x=2时,S的最大值=

    1

    4

    ×(2−4)2=1(8分)

    ②当0<x<2时,S=−

    3

    4

    x2+2x=−

    3

    4

    (x−

    4

    3

    )2+

    4

    3

    ∴对称轴是直线x=

    4

    3

    ∵抛物线开口向下∴当x=

    4

    3

    时,S有最大值为

    4

    3

    (9分)

    综合①②当x=

    4

    3

    时,S有最大值为

    4

    3

    (10分)

    iii)存在,点C的坐标为(

    3

    2

    ,0)和(

    5

    2

    ,0)(14分)

    附:详①当△ADE以点A为直角顶点时,作AE⊥AB交x轴负半轴于点E,

    ∵△AOE∽△BOA

    EO

    AO

    AO

    BO

    1

    2

    ∵AO=2∴EO=1

    ∴点E坐标为(-1,0)

    ∴点C的坐标为(

    3

    2

    ,0)②当△ADE以点E为直角顶点时

    同样有△AOE∽△BOA

    OE

    AO

    OA

    BO

    1

    2

    ∴EO=1∴E(1,0)

    ∴点C的坐标(

    5

    2

    ,0)

    综合①②知满足条件的坐标有(

    3

    2

    ,0)和(

    5

    2

    ,0).