(1)A(0,2),B(4,0)(2分)
设直线AB的解析式y=kx+b,则有
b=2
4k+b=0
解得
k=−1
2
b=2
∴直线AB的解析式为y=−
1
2
x+2(3分)
(2)i)①点E在原点和x轴正半轴上时,重叠部分是△CDE.
则S△CDE=
1
2
BC×CD=
1
2
(4−x)(−
1
2
x+2)
=
1
4
x2−2x+4
当E与O重合时,CE=
1
2
BO=2
∴2≤x<4(4分)
②当E在x轴的负半轴上时,设DE与y轴交于点F,则重叠部分为梯形
∵△OFE∽△OAB
∴
OF
OE
=
OA
0B
=
1
2
,
∴OF=
1
2
OE
又∵OE=4-2x
∴OF=
1
2
(4−2x)=2−x
∴S四边形CDFO=
x
2
×[2−x+(−
1
2
x+2)]
=−
3
4
x2+2x(5分)
当点C与点O重合时,点C的坐标为(0,0)
∴0<x<2(6分)
综合①②得S=
1
4
x2−2x+4(2≤x<4)
−3
4
x2+2x(0<x<2)
(7分)
ii)①当2≤x<4时,S=
1
4
x2−2x+4=
1
4
(x−4)2
∴对称轴是直线x=4
∵抛物线开口向上,
∴在2≤x<4中,S随x的增大而减小
∴当x=2时,S的最大值=
1
4
×(2−4)2=1(8分)
②当0<x<2时,S=−
3
4
x2+2x=−
3
4
(x−
4
3
)2+
4
3
∴对称轴是直线x=
4
3
∵抛物线开口向下∴当x=
4
3
时,S有最大值为
4
3
(9分)
综合①②当x=
4
3
时,S有最大值为
4
3
(10分)
iii)存在,点C的坐标为(
3
2
,0)和(
5
2
,0)(14分)
附:详①当△ADE以点A为直角顶点时,作AE⊥AB交x轴负半轴于点E,
∵△AOE∽△BOA
∴
EO
AO
=
AO
BO
=
1
2
∵AO=2∴EO=1
∴点E坐标为(-1,0)
∴点C的坐标为(
3
2
,0)②当△ADE以点E为直角顶点时
同样有△AOE∽△BOA
OE
AO
=
OA
BO
=
1
2
∴EO=1∴E(1,0)
∴点C的坐标(
5
2
,0)
综合①②知满足条件的坐标有(
3
2
,0)和(
5
2
,0).