1.连接BC1与B1C交于点O,连接AC1,因为四边形AA1C1C为矩形,所以AC1与A1C互相平分,即AC1与A1C交于点N,连接MO,MN,ON
因为三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,所以面BB1C1C⊥面ABC,
又面BB1C1C∩面ABC=BC,∠ABC=90°,所以AB⊥面BB1C1C,AB⊥B1C,
因为四边形BB1C1C为正方形,所以BC1与B1C横向垂直平分于点O,
所以B1C⊥面ABC1,B1C⊥MO,B1C⊥NO,∠MON为二面角M-B1C-A1的平面角,
NO//AB,NO=AB/2=1,AB⊥BC1,NO⊥BC1,MN//BC1,MO=BC1/2=2√2/2=√2,
MN⊥NO,MO=√3,cos∠MON=NO/MO=1/√3=√3/3,二面角M-B1C-A1的余弦值为√3/3
2.过E作EF⊥PB于F,连接DF,
因为四边形ABCD为正方形,所以BC=DC,BC⊥DC
因为面PDC⊥面ABCD,面PDC∩面ABCD=DC,BC⊥DC,
所以BC⊥面PDC,又BC在面PBC中,所以面PBC⊥面PDC,
因为△PDC为等边三角形,E为PC中点,所以DE⊥PC,
所以DE⊥面PBC,DE⊥PB,DE⊥EF,又EF⊥PB,
所以PB⊥面DEF,PB⊥DF,∠EFD为二面角D-PB-C的平面角.
因为BC⊥PC,BC=DC=PC,所以∠CPB=45°,EF=(√2/2)PE,∠DPC=60°,DE=√3PE,
tan∠EFD=DE/EF=(√3PE)/ [(√2/2)PE]= √6,二面角D-PB-C的正切值为√6,