Question

设数列{an}的首项a1∈（0,1）,an=3-an-1/2,n=2,3,4,…．

Answer 1

（Ⅰ） 已知an+1=3-an2（n∈N+）,递推公式两边同减去1得出,

an+1-1=1-an2=-12 (an -1),

故{a_n-1}为等比数列,且首项为a1-1,公比为-12,

根据等比数列通项公式可得{a_n-1} 的通项公式为

an-1=(a1-1)(-12)n-1

∴{a_n}的通项公式为

an=1+(a1-1)(-12)n-1

（Ⅱ）是递增数列．

证明如下：

∵0＜a1＜1,

∴-1＜a1-1＜0,

又当n≥2时,(-12)n-1＞-12

根据不等式的性质得出

0＜(a1-1)(-12)n-1＜12

∴an∈(0,1)∪(1,32)．?bn=an3-2an＞0

∴bn+12-bn2=an+12（3-2an+1）-an2（3-2an）

=(3-an2)2an-a2n(3-2an)=94an(an-1)2＞0

∴bn+12＞bn2?bn+1＞bn．

故{b_n}为递增数列．