Question

已知函数f(x)＝ekx2−kx2e（k＞0）（e为自然对数的底数）

Answer 1

解题思路：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±1k，从而可求得其单调区间，继而可求得f（x）的极值；（2）①观察得知，当k=1时，f（x）=e(ex2−1−x2)，an=f(n)e，利用f（x）在（1，+∞）上递增，即可证得an＜an+1；（3）由an=n，得en2−1=n2+n，分析等号两端即可得到答案．

（1）由f′（x）=2kx（ekx2-e）=0得，x=0或x=±

1

k，

∴f（x）在 （-∞，-

1

k）单调递减，（-

1

k，0）单调递增，（0，

1

k）单调递减，（

1

k，+∞）单调递增，

∴f（x）_极大=f（0）=1，f（x）_极小值=f(±

1

k)=0，

（2）①当k=1时，f（x）=ex2−ex2=e(ex2−1−x2)，

由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而a_n＜a_n+1

②由a_n=n，得en2−1=n²+n，

因n∈N₊，得 n²-1是整数，所以en2−1是无理数，

而n²+n为整数，所以en2−1≠n²+n

即方程a_n=n无解

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，着重考查利用导数研究函数的单调性，突出分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于难题．