解题思路:(1)通过△AEP∽△ADC,列出比例关系,即可用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)Q在BD上运动x秒后,求出DQ、CP,即可表示y与时间x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围;
(3)通过∠EQP=90°,∠QED=90°,分别通过三角形相似,列出比例关系,求出x的值,说明△EDQ为直角三角形.
(1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,∴AD=5,
∵EP∥DC,∴△AEP∽△ADC,
∴[EA/AD=
AP
AC]即[EA/5=
x
4],∴EA=
5
4x,DE=5-[5/4x…(3分)
(2)∵BC=5,CD=3,∴BD=2,
当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-1.25x,
则y=
1
2×DQ×CP=
1
2(4−x)(2−1.25x)=
5
8 x2−
7
2x+4…(6分)
即y与x的函数解析式为:y=
5
8x2−
7
2x+4,其中自变量的取值范围是:0<x<1.6.
(3)分两种情况讨论:
①当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-x,又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC
∴
EQ
AC=
DQ
DC],DQ=1.25x-2
即[4−x/4=
1.25x−2
3]…解得x=2.5…(9分)
②当∠QED=90°时,
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴[DQ/DA=
Rt△EDQ斜边上的高
Rt△CDA斜边上的高],
Rt△EDQ斜边上的高:4-x,
Rt△CDA斜边上的高为:[12/5].
∴[1.25x−2/5=
5(4−x)
12],
解得x=3.1.
综上所述,当x为2.5秒或3.1秒时,△EDQ为直角三角形.…(12分)
点评:
本题考点: 解三角形.
考点点评: 本题是中档题,借助三角形考查函数的应用,以及三角形相似的性质,注意分类讨论思想的应用,考查计算能力.