Question

观察下列等式:1*2=1/3(1*2*3-0*1*2),2*3=1/3*（2*3*4-1*2*3）,3*4=1/3*（3

Answer 1

1*2=1/3(1*2*3-0*1*2).3*1*2=1*2*3-0*1*2

2*3=1/3*（2*3*4-1*2*3）.3*2*3=2*3*4-1*2*3

3*4=1/3*（3*4*5-2*3*4）·····3*3*4=3*4*5-2*3*4

.

.

.

n*（n+1）=1/3[(n*(n+1)*(n+2)-(n-1)n(n+1)].3*n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)-(n-1)n(n+1)

∴3*（1*2+2*3+3*4+...+n（n+1））

=3*1*2+3*2*3+3*3*4+.+3*n(n+1)

=1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+.+n*(n+1)*(n+2)-(n-1)n(n+1)

=-0*1*2+n(n+1)(n+2).【中间都正负抵消了,只剩下两项】

=n（n+1）（n+2）