Question

解一个豪斯霍尔德矩阵问题已知x=[9,2,6]T,H*x=[-11,0,0]T,如何求得H?H是一个Householde

Answer 1

Householder矩阵是镜像变换.通过镜像变换,把x=[9,2,6]^T变换为Hx=[-11,0,0]^T.

那么与镜像平面（就是当作镜子的那个平面）垂直的向量就是：

y=x-Hx=[20,2,6]^T

这个y就是第2问要求的y,因为它与镜像平面垂直,所以有：Hy=-y

再求H.

先把y单位化：v=y/|y|

对任意向量x,H把x镜像,镜像平面是与v垂直的平面,所以：Hx=x-2(v,x)v,其中(v,x)代表内积.

所以：Hx=x-2v(v^T x)=x-2(v v^T)x=(I-2v v^T)x,其中I是3阶单位阵.

所以：H=I-2v v^T

我用matlab算了一下：

H=

-0.8182 -0.1818 -0.5455

-0.1818 0.9818 -0.0545

-0.5455 -0.0545 0.8364