Question

平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，o）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的

Answer 1

解题思路：设出动点M的坐标，利用斜率乘积求出曲线轨迹方程，然后讨论 m的值，判断曲线是圆、椭圆或双曲线时m的值的情况．

设动点为M，其坐标（x，y）．

当x≠±a时，由条件可得k₁•k₂=[y/x−a]•[y/x+a]=

y2

x2−a2=m，

即mx²-y²=ma²（x≠±a）．又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．

故依题意，曲线C的方程为mx²-y²=ma²．

当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

a2+

y2

−ma2=1，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；

当-1＜m＜0时，曲线C 的方程为

x2

a2+

y2

−ma2=1，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m＞0时，曲线C的方程为

x2

a2−

y2

ma2=1，C是焦点在x轴上的双曲线．

故答案为：m=-1，m＞0．

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征；圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线与方程的关系的应用，圆锥曲线的判断，考查分类讨论思想的应用．