解题思路：（1）利用导数的运算法则即可得到f′（x），利用函数取得极值的条件，可得f′（x0）=0，即x0-2-lnx0=0，变形x0-1=1+lnx0，即可证明；
（2）由于xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得
k＜
x(1+lnx)
x−1
＝f(x)
．故只需f（x）min＞k，利用导数研究函数f（x）的极小值即可．
（1）∵f(x)＝
x(1+lnx)
x−1，(x＞1)，∴f′(x)＝
x−2−lnx
(x−1)2，
∵x0为函数f（x）的极值点，∴f'（x0）=0，
即x0-2-lnx0=0，于是x0-1=1+lnx0，
故f(x0)＝
x0(1+lnx0)
x0−1＝
x0(x0−1)
x0−1＝x0．
（2）xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分离参数得k＜
x(1+lnx)
x−1＝f(x)．
则x＞1时，f（x）＞k恒成立，只需f（x）min＞k，f′(x)＝
x−2−lnx
(x−1)2，
记g（x）=x-2-lnx，∴g′(x)＝1−
1
x＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上递增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上存在唯一的实根x0，且满足x0∈（3，4），
∴当1＜x＜x0时g（x）＜0，即f'（x）＜0；当x＞x0时g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）min=f（x0）=x0∈（3，4），
故正整数k的最大值为3．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分离参数法、函数的零点等基础知识与基本方法，熟练掌握知识与方法是解题的关键，属于难题．