Question

已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，满足 8 S n = a n 2 +4 a n +3(n∈ N

Answer 1

（1）∵8S _n=a _n ²+4a _n+3，①

∴8a ₁=a ₁ ²+4a ₁+3．

解之，得a ₁=1，或a ₁=3．…（2分）

又8S _n-1=a _n-1 ²+4a _n-1+3（n≥2），②

由①-②，得 8a _n=（a _n ²-a _n-1 ²）+4（a _n-a _n-1），即（a _n+a _n-1）（a _n-a _n-1-4）=0．

∵各项均为正数则a _n+a _n-1＞0，∴a _n-a _n-1=4（n≥2）．…（5分）

当a ₁=1时，a ₂=5，a ₇=25．a ₁，a ₂，a ₇成等比数列，

∴a _n=4n-3，b _n=5 ^n-1

当a ₁=3时，a ₂=7，a ₇=27，有 不构成等比数列，舍去．

（2）满足条件的a存在，a=

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由（1）知，a _n=4n-3，b _n=5 ^n-1从而

a _n-log _ab _n=4n-3-log _a5 ^n-1=（4-log _a5）n-3+log _a5

由题意得4-log _a5=0

∴a=

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