如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB

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  • 解题思路:(1)连接AC,设AC∩BD=0,连接EO,底面是正方形,可得OE为△PAC的中位线,再利用直线与平面平行的判定定理进行证明,即可解决问题;

    (2)PD⊥平面AC,BC⊂平面AC,所以BC⊥PD,而BC⊥CD,PD∩CD=D,可得BC⊥平面PDC在△PDC为等腰三角形中证明DE⊥平面PBC,从而求证.

    (3)O为BD的中点,故CO⊥BD.面BCD⊥面PBD.得出CO为点C到平面PBD的距离.在Rt△BCD中,BC=3,CD=4,

    由面积法得点C到平面PBD的距离即可.

    证明:(1)连接AC交BD与O,连接EO.

    ∵底面ABCD是矩形,

    ∴点O是AC的中点.

    又∵E是PC的中点

    ∴在△PAC中,EO为中位线

    ∴PA∥EO.(3分)

    而EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,

    ∴PA∥平面EDB.(5分)

    (2)由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

    ∵底面ABCD是矩形,

    ∴DC⊥BC,

    ∴BC⊥平面PDC,而DE⊂平面PDC,

    ∴BC⊥DE.①(8分)

    ∵PD=DC,E是PC的中点,

    ∴△PDC是等腰三角形,DE⊥PC.②

    由①和②得DE⊥平面PBC.

    而PB⊂平面PBC,

    ∴DE⊥PB.

    又EF⊥PB且DE∩EF=E,

    ∴PB⊥平面EFD.(10分)

    (3)O为BD的中点,故CO⊥BD.

    ∵面BCD⊥面PBD.

    ∴CO为点C到平面PBD的距离.

    在Rt△BCD中,BC=3,CD=4,

    由面积法得:CO=[12/5].

    故 点C到平面PBD的距离为:[12/5](14分)

    点评:

    本题考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面平行的判定.

    考点点评: 此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断,此类问题一般先证明两个面平行,再证直线和面平行,这种做题思想要记住,此类立体几何题是每年高考必考的一道大题,同学们要课下要多练习.