解题思路:(1)连接AC,设AC∩BD=0,连接EO,底面是正方形,可得OE为△PAC的中位线,再利用直线与平面平行的判定定理进行证明,即可解决问题;
(2)PD⊥平面AC,BC⊂平面AC,所以BC⊥PD,而BC⊥CD,PD∩CD=D,可得BC⊥平面PDC在△PDC为等腰三角形中证明DE⊥平面PBC,从而求证.
(3)O为BD的中点,故CO⊥BD.面BCD⊥面PBD.得出CO为点C到平面PBD的距离.在Rt△BCD中,BC=3,CD=4,
由面积法得点C到平面PBD的距离即可.
证明:(1)连接AC交BD与O,连接EO.
∵底面ABCD是矩形,
∴点O是AC的中点.
又∵E是PC的中点
∴在△PAC中,EO为中位线
∴PA∥EO.(3分)
而EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,
∴PA∥平面EDB.(5分)
(2)由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是矩形,
∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC,而DE⊂平面PDC,
∴BC⊥DE.①(8分)
∵PD=DC,E是PC的中点,
∴△PDC是等腰三角形,DE⊥PC.②
由①和②得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC,
∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.(10分)
(3)O为BD的中点,故CO⊥BD.
∵面BCD⊥面PBD.
∴CO为点C到平面PBD的距离.
在Rt△BCD中,BC=3,CD=4,
由面积法得:CO=[12/5].
故 点C到平面PBD的距离为:[12/5](14分)
点评:
本题考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面平行的判定.
考点点评: 此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断,此类问题一般先证明两个面平行,再证直线和面平行,这种做题思想要记住,此类立体几何题是每年高考必考的一道大题,同学们要课下要多练习.