Question

有关“定义域为R的函数f(x)满足以下两个条件:

Answer 1

(1)令x=y=0得f(0)=2f(0)f(1),所以f(0)=0或f(1)=1/2

令x=1,y=0得f(1)=f^2(0)+f^2(1) ①

令x=y=1/2得f(1)=2f^2(1/2)②

假设f(1)=1/2,由②可知f(1/2)=-1/2(1/2不满足单调性）

由①得f(0)=1/2或-1/2,此时f(0)>=f(1/2)与f(x)在[0,1]递增矛盾

因此,必有f(0)=0,从而f(1)=1

(2)因为f(1)=1,所以f(0)=0

令y=-x得f(x)f(1+x)+f(1-x)f(-x)=0

(3)f(1)=f(1/2+1/2)=2f^2(1/2)=1,所以