解题思路：（1）先过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，根据AB=12，∠B=60°，得出AE的值，同理得出FC的值，即可求出BC的值；
（2）先作△PBM的高PG，根据等腰梯形ABCD的面积的值和PM平分梯形ABCD的面积，求出S△PBM的值，即可求出PG的值，再根据正弦定理即可求出PB的值；
（3）根据（2）所求出的值，求出梯形ABCD的周长，再根据PB和BM的值来进行判断，正好符合题意，得出结论存在符合题意的直线PM．
（1）过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=[AE/12]，
∴AE=6
3，
∴BE=6，同理可证：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；
（2）作△PBM的高PG，
∵等腰梯形ABCD的面积是：[1/2]（AD+BC）•AE=[1/2]×（4+16）×6
3=60
3
∵PM平分梯形ABCD的面积，
∴S△PBM=30
3，
∵BM=12，
∴PG=5
3，
∵∠B=60°，
∴PB=
5
3
sin60°，
∴PB=10；
（3）当M在BC上时，梯形ABCD的周长是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12时PB+BM=22（符合题意），
PB=12，BM=10时 PB+BM=22（符合题意），
当M在DC上时（舍去），
当M在AD上（舍去），
则存在符合题意的直线PM．
点评：
本题考点： 等腰梯形的性质；三角形的面积．
考点点评： 此题主要考查学生对等腰梯形的性质及三角形的面积的掌握情况．难度适中，解题关键是掌握三角形的面积公式和等腰梯形的周长．