Question

过抛物线的顶点O作两条相互垂直的弦OA、OB.求证,弦AB与抛物线的对称轴相交与顶点

Answer 1

y²=2px

假设OA,OB斜率是k和-1/k

则OA是y=kx

OB是y=-x/k

代入y²=2px

k²x²=2px,A不是原点

x≠0

x=2p/k²

A(2p/k²,2p/k)

同理,B(2pk²,-2pk)

由两点式

(y-2p/k)/(-2pk-2p/k)=(x-2p/k²)/(2pk²-2p/k²)

对称轴y=0

所以（-2p/k)/(-2pk-2p/k)=(x-2p/k²)/(2pk²-2p/k²)

1/(k²+1)=(k²x-2p)/[2p(k²+1)(k²-1)]

k²x-2p=2p(k²-1)

k²x-2p=2pk²-2p

x=2p

所以和对称轴交点是(2p,0)

所以是定点