Question

把49个数排成如图所示的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中

Answer 1

解题思路：观察数列矩阵，因为每行每列都满足等差数列，可以用等差数列性质a_m+a_n=a_p+a_q先计算每列，分别为7a₄₁，7a₄₂，7a₄₃，7a₄₄，7a₄₅，7a₄₆，7a₄₇，然后计算第四列的总和即可．

由题意知：

因为每行每列都满足等差数列，根据等差数列的性质a_m+a_n=a_p+a_q，

第一列：a₁₁+a₂₁+a₃₁+a₄₁+a₅₁+a₆₁+a₆₁+a₇₁=（a₁₁+a₇₁）+（a₂₁+a₆₁）+（a₃₁+a₅₁）+a₄₁=2a₄₁+2a₄₁+2a₄₁+a₄₁=7a₄₁；

第二列：a₁₂+a₂₂+a₃₂+a₄₂+a₅₂+a₆₂+a₇₂=（a₁₂+a₇₂）+（a₂₂+a₆₂）+（a₃₂+a₅₂）+a₄₂=2a₄₂+2a₄₂+2a₄₂+a₄₂=7a₄₂；

第三列：a₁₃+a₂₃+a₃₃+a₄₃+a₅₃+a₆₃+a₇₃=（a₁₃+a₇₃）+（a₂₃+a₆₃）+（a₃₃+a₅₃）+a₄₃=2a₄₃+2a₄₃+2a₄₃+a₄₃=7a₄₃；

第四列：a₁₄+a₂₄+a₃₄+a₄₄+a₅₄+a₆₄+a₇₄=（a₁₄+a₇₄）+（a₂₄+a₆₄）+（a₃₄+a₅₄）+a₄₄=2a₄₄+2a₄₄+2a₄₄+a₄₄=7a₄₄；

第五列：a₁₅+a₂₅+a₃₅+a₄₅+a₅₅+a₆₅+a₇₅=（a₁₅+a₇₅）+（a₂₅+a₆₅）+（a₃₅+a₅₅）+a₄₅=7a₄₅

第六列：a₁₆+a₂₆+a₃₆+a₄₆+a₅₆+a₆₆+a₇₆=（a₁₆+a₇₆）+（a₂₆+a₆₆）+（a₃₆+a₅₆）+a₄₆=7a₄₆

第七列：a₁₇+a₂₇+a₃₇+a₄₇+a₅₇+a₆₇+a₇₇=（a₁₇+a₇₇）+（a₂₇+a₆₇）+（a₃₇+a₅₇）+a₄₇=7a₄₇

∴所有数的总和=7a₄₁+7a₄₂+7a₄₃+7a₄₄+7a₄₅+7a₄₆+7a₄₇=7（a₄₁+a₄₂+a₄₃+a₄₄+a₄₅+a₄₆+a₄₇）=7[（a₄₁+a₄₇）+（a₄₂+a₄₆）+（a₄₃+a₄₅）+a₄₄]=7（7a₄₄）

∵a₄₄=1

∴7（7a₄₄）=49

故答案为49

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等差数列的性质am+an=ap+aq，先纵向再横向不难计算所有数的总和，属于中档题型．