Question

27．（本题12分）如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连结AC、PD.

Answer 1

（1）

因为PB=PC

所以∠PBC=∠PCB

又∠ABC=∠DBC=90°

所以∠ABP=∠DCP

又AB=CD,PB=PC

所以△APB≌△DPC

（2）

取BC中点N,AC中点O,连接OP延长交AD于M

因为ON‖AB,ON⊥BC,PC=PB

所以PN为BC垂直平分线

M、O,P,N共线

因为AP=AB=AD

所以MA=AP/2

所以RT△PMA中,∠MPA=∠BAP=30°

所以∠PAC=∠BAC-∠BAP=∠45°-30°=15°

所以∠PAC=1/2*∠BAP

（3）

设∠PAC=x°,∠BAP=y°

因为△APB≌△DPC

所以PA=PD=AB=AD=CD,∠PDC=∠BAP

所以PAD为等边△

则∠CAD=∠DCA=（60-x）°,∠PDC=y°

而∠PAC+∠APD=∠PDC+∠DCA

即 x°+60°=y°+（60-x）°,x°=y°/2

所以∠PAC=1/2*∠BAP