AB=24,BC=30,⊙O的面积=100
.(1+1+2分)
(1)求线段的长度问题,题中可先设其长度为k,然后利用三角形相似建立平衡关系,再用勾股定理求解即可.
(2)连接OB,由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;再由BE:EA=5:3可以设BE=5x,EA=3x,则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,CF 2=CD 2+DF 2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;在Rt△EBC中,由勾股定理可求得x的值,再由面积S △ EBC=S △ OEB+S △ OBC求得⊙O半径,求出面积.
(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°,BC=AD,AB=CD,
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵F在AD上,∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC
∴
=
.
∵BE:EA=5:3
设BE=5k,AE=3k
∴AB=DC=8k,
由勾股定理得:AF=4k,
∴
=
∴DF=6k
∴BC=AD=10k
在△EBC中,根据勾股定理得BE 2+BC 2=EC 2
∵CE=15
,BE=5k,BC=10k
∴(5k) 2+(10k) 2=(15
) 2
∴k=3
∴AB=8k=24,BC=10k=30
(2)连接OB,
由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;
由BE:EA=5:3,设BE=5x,EA=3x,
则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,∴CF 2=CD 2+DF 2,即CF 2=(8x) 2+(CF-4x) 2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;
在Rt△EBC中,EB 2+BC 2=EC 2,即(5x) 2+(10x) 2=15 2,
解得:x=3,则BE=15,BC=30.
再由S △ EBC=S △ OEB+S △ OBC,则
×BE×BC=
×BE×r+
×BC×r,
解得:r=10;
则⊙O的面积为πr 2=100π.
本题考查了矩形的性质,会解决一些简单的翻折问题,能够利用勾股定理求解直角三角形;同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用,难度稍大,解题时要理清思路.