如图,矩形纸片ABCD,点E是AB上一点,且BE∶EA=5∶3,EC= ,把△BCE沿折痕EC向上翻折,若点B恰好落在A

1个回答

  • AB=24,BC=30,⊙O的面积=100

    .(1+1+2分)

    (1)求线段的长度问题,题中可先设其长度为k,然后利用三角形相似建立平衡关系,再用勾股定理求解即可.

    (2)连接OB,由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;再由BE:EA=5:3可以设BE=5x,EA=3x,则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,CF 2=CD 2+DF 2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;在Rt△EBC中,由勾股定理可求得x的值,再由面积S EBC=S OEB+S OBC求得⊙O半径,求出面积.

    (1)∵四边形ABCD是矩形

    ∴∠A=∠B=∠D=90°,BC=AD,AB=CD,

    ∴∠AFE+∠AEF=90°

    ∵F在AD上,∠EFC=90°

    ∴∠AFE+∠DFC=90°

    ∴∠AEF=∠DFC

    ∴△AEF∽△DFC

    =

    ∵BE:EA=5:3

    设BE=5k,AE=3k

    ∴AB=DC=8k,

    由勾股定理得:AF=4k,

    =

    ∴DF=6k

    ∴BC=AD=10k

    在△EBC中,根据勾股定理得BE 2+BC 2=EC 2

    ∵CE=15

    ,BE=5k,BC=10k

    ∴(5k) 2+(10k) 2=(15

    ) 2

    ∴k=3

    ∴AB=8k=24,BC=10k=30

    (2)连接OB,

    由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;

    由BE:EA=5:3,设BE=5x,EA=3x,

    则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,∴CF 2=CD 2+DF 2,即CF 2=(8x) 2+(CF-4x) 2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;

    在Rt△EBC中,EB 2+BC 2=EC 2,即(5x) 2+(10x) 2=15 2

    解得:x=3,则BE=15,BC=30.

    再由S EBC=S OEB+S OBC,则

    ×BE×BC=

    ×BE×r+

    ×BC×r,

    解得:r=10;

    则⊙O的面积为πr 2=100π.

    本题考查了矩形的性质,会解决一些简单的翻折问题,能够利用勾股定理求解直角三角形;同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用,难度稍大,解题时要理清思路.