Question

已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD 2 +CE 2 +

Answer 1

设OD=a，OE=b，由余弦定理，得

CD ²=CO ²+DO ²-2CO•DOcos60°=a ²-a+1．

同理可得CE ²=b ²-b+1，DE ²=a ²+ab+b ²

从而得到CD ²+CE ²+DE ²=2（a ²+b ²）-（a+b）+ab+2=

26

9

∴2（a ²+b ²）-（a+b）+ab-

8

9 =0，

配方得2（a+b） ²-（a+b）-3ab-

8

9 =0，即3ab=2（a+b） ²-（a+b）-

8

9 …（*）

又∵ab≤[

1

2 （a+b）] ²=

1

4 （a+b） ²，

∴3ab≤

3

4 （a+b） ²，代入（*）式，得2（a+b） ²-（a+b）-

8

9 ≤

3

4 （a+b） ²，

设a+b=m，代入上式有2m ²-m-

8

9 ≤

3

4 m ²，

即

5

4 m ²-m-

8

9 ≤0，得到-

8

15 ≤m≤

4

3 ，

∴m最大值为

4

3 ，即OD+OE的最大值是

4

3 ．