Question

已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．

Answer 1

解题思路：（1）根据等差数列的性质可知a₃+a₈=a₄+a₇，求得a₄+a₇的值，进而利用a₄•a₇判断出a₄，a₇为方程的两根据，则a₄和a₇可求，进而利用等差数列的性质可求得公差d，则等差数列的通项公式可得．

（2）把（1）求得的a_n代入

b

n

＝

1

9

a

n−1

a

n

中求得b_n，进而用裂项法求得数列的前n项的和．

（1）根据题意：a₃+a₈=8=a₄+a₇，a₄•a₇=15，知：a₄，a₇是方程x²-8x+15=0的两根，且a₄＜a₇

解得a₄=3，a₇=5，设数列{a_n}的公差为d

由a7＝a4+(7−4)•d，得d＝

2

3．

故等差数列{a_n}的通项公式为：an＝a4+(n−4)•d＝3+(n−4)•

2

3＝

2n+1

3

（2）bn＝

1

9an−1an＝

1

9(

2

3n−

1

3)(

2

3n+

1

3)＝

1

(2n−1)(2n+1)=[1/2(

1

2n−1−

1

2n+1)

又b1＝

1

3＝

1

2(1−

1

3)

∴Sn＝b1+b2++bn＝

1

2(1−

1

3+

1

3−

1

5++

1

2n−1−

1

2n+1)＝

1

2(1−

1

2n+1)=

n

2n+1]

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的确定和数列的求和．应熟练掌握诸如公式法，错位想减法，裂项法，叠加法等常用的数列求和的方法．