解题思路：一元二次方程没有实数根，即△＜0；有两个不相等的实数根，即△＞0；有两个相等的实数根，即△=0．
根据题意得，
判别式△≥0，
即b2-4c≥0，
将bc的取值一一代入判别式，
当b=1时，c等于任何值都不符合；
当b=2时，c可以取1；
当b=3时，c可以取1、2；
当b=4时，c可以取1、2、3、4；
当b=5时，c可以取1、2、3、4、5、6；
当b=6时，c可以取1、2、3、4、5、6．
共19个．
故答案为19．
点评：
本题考点： 根的判别式．
考点点评： 本题考查一元二次方程根的判别式的性质，要熟练地掌握和运用判别式解题．