若函数y=根号(sin6次方x+cos6次方x+asinxcosx)的定义域为R,求实数a的取值范围

1个回答

  • sin六次方x可以看做(sin²x)³

    cos六次方x可以看做(cos²x)³

    那么sin6次方x+cos6次方x可以看做(sin²x)³+(cos²x)³

    立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

    结果可化为(sin²x+cos²x)(sin四次方x-sin²xcos²x+cos四次方x)

    也就是sin四次方x-sin²xcos²x+cos四次方x

    再加上3sin²xcos²x又减去3sin²xcos²x

    那么就是sin四次方x+2sin²xcos²x+cos四次方x-3sin²xcos²x

    =(sin²x+cos²x)²-3sin²xcos²x

    =1-3sin²xcos²x

    那么根号里的结果就是1-3sin²xcos²x+asinxcosx

    即1-3/4(sin²2x)+a/2(sin2x)

    定义域为R,那么sin2x属于[-1,1]

    若结果恒非负,那么有设b=sin2x,就是f(b)=1-3b²/4+ab/2

    有f(1)≥0且f(-1)≥0

    即:1/4+a/2≥0且1/4-a/2≥0

    即:a≥-1/2且a≤1/2

    则a∈[-1/2,1/2]