Question

在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C1：y=ax3+1（a＞0）与曲线C2：x2+y2＝52的一个公共点，若C1与C2在

Answer 1

解题思路：设出两曲线的交点A的坐标，代入两曲线解析式，分别记作①和②，由曲线C₁的解析式，求出导函数，把点A的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为曲线C₁在A处的切线的斜率，进而表示出C₁在A处的切线方程，由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，得到求出的切线方程过曲线C₂的圆心（0，0），把圆心坐标代入切线方程得到一个关系式，记作③，联立①②③，即可求出a的值．

设点A的坐标为（x₀，y₀），代入两曲线方程得：

y₀=ax₀³+1①，x₀²+y₀²=[5/2]②，

由曲线C₁：y=ax³+1得：y′=3ax²，

则曲线C₁在A处的切线的斜率k=3ax₀²，

所以C₁在A处的切线方程为：y=3ax₀²（x-x₀）+y₀，

由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，

得到切线方程y=3ax₀²（x-x₀）+y₀过圆C₂的圆心（0，0），

则有3ax₀²（0-x₀）+y₀=0，即y₀=3ax₀³③，

把③代入①得：a=

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2x03④，④代入③得：y₀=[3/2]⑤，⑤代入②得：x₀=±[1/2]，

当x₀=[1/2]时，代入④得：a=4；当x₀=-[1/2]时，代入④得：a=-4（由a＞0，不合题意，舍去）．

则实数a的值为4．

故答案为4．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定．

考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，掌握圆切线垂直于过切点的直径的性质，是一道中档题．