Question

按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一

Answer 1

解题思路：仔细阅读扩充新数规则：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．根据此规则运算即可．

（1）起始数是1和4

原数 产生新数 应取数

第一次扩充 1、4 1×4+1+4=9 4、9

第二次扩充 4、9 4×9+4+9=49 9、49

第三次扩充 9、49 9×49+9+49=49949、499

（2）首先通过一般归纳得出，新数c用a、b表示的一般式子c+1=（a+1）^m•（b+1）^m+1．

进一步验证新数1999能否表示成2^m×5^m+1的形式，其中m取自然数．

（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三数取9和49，就得到扩充三次的最大数为499．

（2）1999可以扩充得到．

∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，

∴c+1=（a+1）（b+1），

取数a、c可得新数

d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1=（a+1）²（b+1）-1，

即d+1=（a+1）²（b+1），

同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，

∴e+1=（b+1）²（a+1），

设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n为整数，

当a=1，b=4时，x+1=2^m×5ⁿ，

又∵1999+1=2⁴×5³，

故1999可以通过上述规则扩充得到．

点评：

本题考点： 因式分解的应用．

考点点评： 做好本类题目的关键是要根据表达式与文字规则，弄清给定数值字符间蕴含的加减乘除运算关系．如本题中的按照规则c=ab+a+b，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．