Question

若f（x）为定义在R上的函数，且f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）为

Answer 1

解题思路：令t=10+x代入第一个式子，结合第二个式子判断出函数是奇函数；再令x-10=m结合已知的式子求出函数的周期是20．

令t=10+x，则10-x=20-t，f（t）=f（20-t），

∴f（20+t）=f（-t）

∵f（20+x）=-f（20-x）

∴f（t）=-f（-t），∴f（x）是奇函数

∴f（10-x）=f（x-10）=f（x+10），

令x-10=m，则x+10=m+20，

有f（m）=f（m+20），所以f（x）是以T=20为周期的奇函数．

故选A．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的周期性．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性和周期性，利用整体代换和题意求出函数的周期，以及判断出函数的奇偶性．