解题思路：（1）将n=1代入Tn=
3
2]Sn-3n，求出a1的值；
（2）根据当n≥2时，Sn=Tn-Tn-1求出
S
n
＝
3
2
a
n
−3
仿写作差得出数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列，求出通项公式；
（3）当n=1时，
b
1
＝
3
4
＜1
；当n≥2时，bn=
2
a
n
(
a
n
−2
)
2
=
4×
3
n
(2×
3
n
−2
)
2
()
()
＝
3
n
(
3
n
−1
)
2
＜
3
n
(
3
n
−1)(
3
n
−3)
=
1
2
(
1
3
n−1
−1
−
1
3
n
−1
)
通过裂项相消证出不等式．
（1）当n=1时，T1＝
3
2S1−3，
∵T1=S1=a1
，∴a1＝
3
2a1−3
解得a1=6
（2）当n≥2时，Sn=Tn-Tn-1=[3/2]Sn-3n−[
3
2Sn−1−3(n−1)]＝
3
2Sn−
3
2Sn−1−3
∴Sn＝
3
2an−3①
∴Sn−1＝
3
2an−1−3①
由②-①得an=3an-1
∴数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列
，∴an＝6•3n−1＝2•3n
（3）当n=1时，b1＝
3
4＜1
当n≥2时，bn=
2an
(an−2)2=
4×3n
(2×3n−2)2
()
()＝
3n
(3n−1)2＜
3n
(3n−1)(3n−3)=
3n−1
(3n−1)(3n−1−1)=[1/2(
1
3n−1−1−
1
3n−1)
∴b1+b2+…+bn＜
点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列通项的求法、考查了放缩法证明不等式及裂项相消的数列求和的方法；属于一道综合题．
1年前
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