（Ⅰ）利用|AB|=4,△ABF2的周长为16,|AF1|=3|F1B|,结合椭圆的定义,即可求|AF2|；
（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0）,则|AF1|=3k,|AB|=4k,由cos∠AF2B=3/5,利用余弦定理,可得a=3k,从而△AF1F2是等腰直角三角形,即可求椭圆E的离心率．
（Ⅰ）∵|AB|=4,|AF1|=3|F1B|,
∴|AF1|=3,|F1B|=1,
∵△ABF2的周长为16,
∴4a=16,
∴|AF1|+|AF2|=2a=8,
∴|AF2|=5；
（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0）,则|AF1|=3k,|AB|=4k,
∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k
∵cos∠AF2B=3/5 ,
∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-6/5（2a-3k）（2a-k）,
化简可得a=3k,
∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,
∴AF1⊥AF2,
∴△AF1F2是等腰直角三角形,
∴c=（根号2/2）a,
∴e=c/a =根号2/2．