Question

已知某曲线位于y轴右侧且经过点(1.1) ,曲线上任意点处的切线在y轴上的截距等于切点的横坐标,求曲线方程

Answer 1

设该曲线为y=f（x）

曲线的切线方程是y-f(x.)=f'(x.)(x-x.) 即y=f'(x.)(x-x.) +f(x.)

由题意可得到 x.=-x.f'(x.)+f(x.) 问题转化为求微分方程的解,为了方便我把

该微分方程写成 x=-xdy/dx+y的形式 可写成dy/dx=y/x -1

设z=y/x ,则y=zx ,dy/dx=z+xdz/dx=y/x-1=z-1

xdz/dx=-1 分离变量 dz=-dx/x 两边积分,得 z=-lnx+C=y/x

y=x(C-lnx) 曲线经过点（1,1）代人,得 y=x(1-lnx)