(1)
证：
a(n+1)=1- 1/(4an)
a(n+1)-1/2=1/2 -1/(4an)=(2an-1)/(4an)
1/[a(n+1)-1/2]=2/[a(n+1)-1]=(4an)/(2an-1)=(4an-2+2)/(2an-1)=2+2/(2an-1)
2/[a(n+1)-1]-2/(2an-1)=2,为定值.
2/(2a1-1)=2/(2-1)=2
数列{2/(2an -1)}是以2为首项,2为公差的等差数列.
又bn=2/(2an -1),数列{bn}是以2为首项,2为公差的等差数列.
2/(2an -1)=2+2(n-1)=2n
1/(2an -1)=n
2an -1=1/n
an=1/2 +1/(2n)
n=1时,a1=1/2+1/2=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=1/2 +1/(2n).
(2)
bn=2+2(n-1)=2n
bn≤3k×2^(n-1)+7
2n≤3k×2^(n-1)+7
k≥(2n-7)/[3×2^(n-1)]
要不等式恒成立,则k应≥(2n-7)/[3×2^(n-1)]的最大值.
对于(2n-7)/[3×2^(n-1)],n≤3时,分母>0,分子0,因此只要讨论n≥4的情况.
n=4时,k=(8-7)/(3×8)=1/24=2/48
n=5时,k=(10-7)/(3×16)=1/16=3/48>2/48
n≥5时,
[2(n+1)-7]/(3×2^n)-(2n-7)/[3×2^(n-1)]
=[2(n+1)-7-2(2n-7)]/(3×2^n)
=(-2n+9)/(3×2^n)
n≥5,-2n+9≤-2×5+9=-1