简单提示一种思路（几何与三角函数结合证明）：
第一个：容易用几何法得到AO⊥XY
那么XY+AX+AY=R/tanC +R/tanB+ R/sinC+R/sinB
由于AB+AC=2RsinC+2RsinB
那么你只要证明：R/tanC +R/tanB+ R/sinC+R/sinB =2RsinC+2RsinB （其中B+C=2π/3）成立即可.
第二个：
方法1：容易得到OMBC四点共圆,那么由托勒密定理容易得到[sqrt（3）/2] *OM=R（cosB-cosC）
显然有sin(B+（π/6）)=sin(C+（π/6）)展开以后就得到：
cosB-cosC=sqrt（3） （sinC-sinB）
所以得到OM=2R（sinC-sinB）=AB-AC
方法2：根据向量（→OA+→OB+→OC）=2* →OM
计算→OM平方,再计算（AB-AC）^2,再计算一下（过程比较多一点,具体计算过程你自己算一下）,就可以得到（AB-AC）^2 =（→OM）^2