(2011•湖南模拟)已知函数f(x)=(x2-x-[1/a])eax(a≠0).

1个回答

  • 解题思路:(1)利用函数在切点处的导数值是切线的斜率,求出导函数,令x=0求出斜率,利用点斜式求出直线方程.

    (2)构造新函数g(x),求出其导函数,讨论导函数的符号,求出g(x)的最小值,最小值大于等于0,求出a的范围.

    (1)f′(x)=(2x−1)eax+a(x2−x−

    1

    a)eax

    ∴f′(0)=-2

    将x=0代入f(x)得f(0)=−

    1

    a

    所以曲线y=f(x)在点A(0,f(0))处的切线方程为 2x+y+

    1

    a=0

    (2)f(x)+

    3

    a≥0对x∈[−

    3

    a,+∞)恒成立

    即(x2−x−

    1

    a)eax+

    3

    a≥0对x∈[−

    3

    a,+∞)恒成立

    令g(x)=(x2−x−

    1

    a)eax+

    3

    ax∈[−

    3

    a,+∞)

    ∵g′(x)=(2x−1)eax+a(x2−x−

    1

    a)eax

    =(ax2+2x-ax-2)eax

    =(ax+2)(x-1)eax

    令g′(x)=0得x=−

    2

    a,x=1

    x∈(−

    3

    a,−

    2

    a)时,g′(x)>0;x∈(−

    2

    a,1)时,g′(x)<0;x∈(−

    2

    a,+∞)时,g′(x)>0

    当x=1时,g(1)=−

    1

    aea+

    3

    a;当x=−

    3

    a时,g(−

    3

    a)=(

    9

    a2+

    2

    a)e−3+

    3

    a>g(1)

    故g(x)的最小值为−

    1

    aea+

    3

    a

    ∴−

    1

    aea+

    3

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题考查导数的几何意义:在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的最值、考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值.