解题思路:(1)利用函数在切点处的导数值是切线的斜率,求出导函数,令x=0求出斜率,利用点斜式求出直线方程.
(2)构造新函数g(x),求出其导函数,讨论导函数的符号,求出g(x)的最小值,最小值大于等于0,求出a的范围.
(1)f′(x)=(2x−1)eax+a(x2−x−
1
a)eax
∴f′(0)=-2
将x=0代入f(x)得f(0)=−
1
a
所以曲线y=f(x)在点A(0,f(0))处的切线方程为 2x+y+
1
a=0
(2)f(x)+
3
a≥0对x∈[−
3
a,+∞)恒成立
即(x2−x−
1
a)eax+
3
a≥0对x∈[−
3
a,+∞)恒成立
令g(x)=(x2−x−
1
a)eax+
3
ax∈[−
3
a,+∞)
∵g′(x)=(2x−1)eax+a(x2−x−
1
a)eax
=(ax2+2x-ax-2)eax
=(ax+2)(x-1)eax
令g′(x)=0得x=−
2
a,x=1
x∈(−
3
a,−
2
a)时,g′(x)>0;x∈(−
2
a,1)时,g′(x)<0;x∈(−
2
a,+∞)时,g′(x)>0
当x=1时,g(1)=−
1
aea+
3
a;当x=−
3
a时,g(−
3
a)=(
9
a2+
2
a)e−3+
3
a>g(1)
故g(x)的最小值为−
1
aea+
3
a
∴−
1
aea+
3
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查导数的几何意义:在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的最值、考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值.