Question

已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn} 是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2，2a4=b3，且

Answer 1

解题思路：首先利用等差数列和等比数列的性质以及已知条件求出q=2+d，进而根据2a₄=b₃，求出d、和q的值，即可求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，再根据a_n=log_αb_n+β得出2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β，令n=1求出β=2，令n=2求出α=2，即可求出结果．

a₂=a₁+d=2+d b₂=1×q=q

∵a₂=b₂
∴q=2+d a₄=a₁+3d=2+3d b₃=1×q²=q²
∵2a₄=b₃∴2×（2+3d）=q²=（2+d）²即 d²-2d=0

∵公差不为0

∴d=2∴q=4∴

a_n=a₁+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n

b_n=a₁q^n-1=4^n-1∵a_n=log_αb_n+β

∴2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β ①

∵①式对每一个正整数n都成立

∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2

∴α^β=2²=4

点评：

本题考点： 对数的运算性质；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题．