解题思路：物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，若加速度与速度在同一直线上，物体做直线运动，物体做匀速圆周运动的加速度是向心加速度，方向时刻改变．
ABC、加速度恒定，物体做匀变速运动，当速度方向与加速度在同一直线上，就是匀变速直线运动，当速度方向与加速度方向不在同一直线上，就是匀变速曲线运动，故AB错误、C正确．
D、物体做匀速圆周运动的加速度是向心加速度，方向时刻改变，不可能恒定不变，故D错误．
故选：C．
点评：
本题考点： 物体做曲线运动的条件．
考点点评： 解决本题的关键知道当物体的速度与加速度方向相同或相反，做直线运动，速度方向与加速度方向不在同一直线上做曲线运动，加速度不变，就是匀变速，加速度变化就是变加速．