奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数是周期函数.
证明：
1 f(-x）=-f(x) 奇函数的导数是偶函数
f′(-x)=lim [h→0] [f(-x+h)-f(-x)]/h
=lim[h→0] [-f(x-h)+f(x)]/h=lim[-h→0] [f(x-h)-f(x)]/(-h)=f′(x)
2 f(-x）=f(x) 偶函数的导数是奇函数
f′(-x)=lim [h→0] [f(-x+h)-f(-x)]/h
=lim[h→0] [f(x-h)-f(x)]/h=-lim[-h→0] [f(x+(-h))-f(x)]/(-h)=-f′(x)
3 f(x+t)=f(x) 周期函数的导数是周期函数
f′(x+t)=lim [h→0] [f(x+t+h)-f(x+t)]/h
=lim[h→0] [f(x+h)-f(x)]/h=f′(x)