解题思路：（Ⅰ）确定切点的坐标，求导函数，确定切线的斜率，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求导函数，再分类讨论：（1）a=0时，不符合题意；（2）a≠0时，f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或
2
a]，确定函数的最值，结合f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围．
（Ⅰ）a=3时，f（x）=x3-x2+2，f（2）=6，f'（x）=3x2-2x，f'（2）=8，
∴切线方程为：y=8x-10
（Ⅱ）f'（x）=x（ax-2），
（1）a=0时，f'（x）=-2x，f（2）=-2<0，不符合题意，所以a≠0；
（2）f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或[2/a]，
当0<
2
a≤2，即a≥1时，
x -1 （-1，0） 0 (0，
2
a) [2/a] (
2
a，2) 2
f'（x） + 0 _ 0 +
f（x） [3−a/3] 增 极大值2 减 极小值
2(3a2−2)
3a2 增
2(4a−3)
3由a≥1得，f(
2
a)＝
2(3a2−2)
3a2>0．
∴只需f(−1)＝
3−a
3>0且f(2)＝
2(4a−3)
3>0，解得1≤a<3
（3）[2/a>2，即0
x -1 （-1，0） 0 （0，2） 2
f'（x） + 0 _
f（x）
3−a
3] 增 极大值2 减
2(4a−3)
30
3−a
3>0，只需f(2)＝
2(4a−3)
3>0，解得[3/4
（4）a<0时，f(2)＝
2(4a−3)
3<0，不符合题意．
综上，
3
4
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确求导，合理分类是关键．
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