Question

已知函数 g(x)= 4 x -n 2 x 是奇函数， f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx 是偶函数．

Answer 1

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，

∴g（0）=0，即

4 0 -n

2 0 =0⇒n=1 ，…（3分）

∵ f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx ，

∴ f(-x)=lo g 4 ( 4 -x +1)-mx=lo g 4 ( 4 x +1)-(m+1)x ，

∵f（x）是偶函数，

∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故 m=-

1

2 ，

综上所述，可得 m+n=

1

2 ；…（4分）

（2）∵ h(x)=f(x)+

1

2 x=lo g 4 ( 4 x +1) ，

∴h[log ₄（2a+1）]=log ₄（2a+2），…（2分）

又∵ g(x)=

4 x -1

2 x = 2 x - 2 -x 在区间[1，+∞）上是增函数，

∴当x≥1时， g(x ) min =g(1)=

3

2 …（3分）

由题意，得

2a+2＜ 4

3

2

2a+1＞0

2a+2＞0 ⇔-

1

2 ＜a＜3 ，

因此，实数a的取值范围是： {a|-

1

2 ＜a＜3} ．…（3分）