Question

圆C通过不同的三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．

Answer 1

解题思路：利用待定系数法，我们先设出圆C的一般方程，结合圆C通过不同的三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），我们易求出圆的方程（含参数k），又由圆C在点P处的切线斜率为1，结合切线与过切点的半径垂直，我们易构造关于k的方程，解方程即可求出k值，进而得到圆C的方程．

设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，

则k、2为x²+Dx+F=0的两根，

∴k+2=-D，2k=F，

即D=-（k+2），F=2k，

又圆过R（0，1），故1+E+F=0．

∴E=-2k-1．

故所求圆的方程为

x²+y²-（k+2）x-（2k+1）y+2k=0，

圆心坐标为（[k+2/2]，[2k+1/2]）．

∵圆C在点P处的切线斜率为1，

∴k_CP=-1=[2k+1/2−k]，∴k=-3．∴D=1，E=5，F=-6．

∴所求圆C的方程为x²+y²+x+5y-6=0．

点评：

本题考点： 圆的一般方程．

考点点评： 本题考查的知识点是圆的一般方程，求圆的方程最常用的办法是待定系数法，即先设出方程，再利用其它已知条件，构造方程组，解方程组求出各参数，即可得到圆 的一般方程．