线性空间检验集合对于所指定的运算是否构成实数域上的线性空间

2个回答

  • 由于1.(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)=(a2+a1,b2+b1+a2a1)=(a2,b2)+(a1,b1),

    2.[(a1,b1)+(a2,b2)]+(a3+b3)=((a1+a2)+a3,(b1+b2)+b3+(a1a2)a3)

    =(a1+(a2+a3),b1+(b2+b3)+a1(a2a3))

    =(a1,b1)+[(a2,b2)+(a3,b3)]

    3.(a,b)+(0,0)=(a,b)

    4.(a,b)+(﹣a,a^2-b)=(0,0)

    5.1•(a,b)=(a,b)

    6.k[l(a,b)]=k[la,lb+l(l-1)a^2/2]

    =[(kl)a,klb+kl(l-1)a^2/2+k(k-1)l^2a^2/2]

    ={(kl)a,(kl)b+(kl)[(kl)-1]a^2/2}

    =(kl)•(a,b)

    7.(k+l)•(a,b)={(k+l)a,(k+l)b+(k+l)[(k+l)-1]a^2/2}

    ={ka+la,[kb+k(k-1)a^2/2]+[lb+l(l-1)a^2/2]+(ka)(la)}

    =[ka,kb+k(k-1)a^2/2]+[la,lb+l(l-1)a^2/2]

    =k(a,b)+l(a,b)

    8.k[(a1,b1)+(a2,b2)]=k(a1+a2,b1+b2+a1a2)

    =[ka1+ka2,kb1+kb2+ka1a2+k(k-1)(a1+a2)^2/2]

    ={ka1+ka2,[kb1+k(k-1)a1^2/2]+[kb2+k(k-1)a2^2/2]+k^2a1a2}

    =[ka1,kb1+k(k-1)a1^2/2]+[ka2,kb2+k(k-1)a2^2/2]

    =k(a1,b1)+k(a2,b2)

    且(a1,b1)+(a2,b2)与k(a,b)均为二元有序实数组,即该集合关于该加法和数乘封闭,所以这个集合是一个线性空间.