解题思路：（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域以及导数，通过令f'（x）＞0，令f'（x）＜0解得函数的单调区间，然后求解f（x）的最小值．
（Ⅱ）求出g（x）的定义域，
g′(x)＝a−
1
x
＝
ax−1
x
，通过当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减函数，当a＞0时，令g'（x）=0，通过列表可以推出：当a＞0 时，g（x）在区间上
(
1
a
，+∞)
是单调增函数，在上（0，[1/a]）是单调递减函数．
（Ⅲ）转化[K
f(x)
≤ex−f′(x)，恒成立，为K≤（ex-1-lnx）•f（x）恒成立，利用（Ⅱ）g（x）=ex-1-lnx在区间
(0，
1/e
)
上是减函数，在区间
(
1
e
，+∞)
上是增函数，当
x＝
1
e]时，g（x）=ex-1-lnx的最小值，由（Ⅰ）可知，当
x＝
1
e
时，f（x）取得最小值，从而函数y=（ex-1-lnx）•f（x）在
x＝
1
e
时，取得最小值，求出K的最大值．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）f（x）的导数f'（x）=1+lnx．-------------（1分）
令f'（x）＞0，解得x＞
1/e]；令f'（x）＜0，解得0＜x＜
1
e．
从而f（x）在(0，
1
e)单调递减，在(
1
e，+∞)单调递增．------------------------（3分）
所以，当x＝
1
e时，f（x）取得最小值1−
1
e．---------------------------------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=ax-1-lnx，∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a−
1
x＝
ax−1
x
当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是单调递减函数；---------------（5分）
当a＞0时，令f'（x）=0，∴x＝
1
a∈(0，+∞)，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x（0，[1/a]）[1/a](
1
a，+∞)
f′（x）-0+
f（x）↘极小值↗从上表可以看出：当a＞0 时，f（x）在区间上(
1
a，+∞)是单调增函数--------------（7分）
在上（0，[1/a]）是单调递减函数--------------------------（8分）
（Ⅲ）∵f(x)≥1−
1
e＞0ex-f'（x）=ex-1-lnx所以[K
f(x)≤ex−f′(x)，恒成立
即K≤（ex-1-lnx）•f（x）恒成立---------------------------------（9分）
由（Ⅱ）可知，当a=e，g（x）=ex-1-lnx在区间(0，
1/e)上是减函数，在区间(
1
e，+∞)上是增函数
故当x＝
1
e]时，g（x）=ex-1-lnx的最小值为g(
1
e)＝1----------------（11分）
又由（Ⅰ）可知，当x＝
1
e时，f（x）取得最小值f(
1
e)=1−
1
e＞0-----------12 分
故函数y=（ex-1-lnx）•f（x）当x＝
1
e时，取得最小值1−
1
e∴K≤1−
1
e---------------（13分）
即K的最大值为1−
1
e----------------------------（14分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的导数的综合应用，利用函数的导数求解最值，难度大是压轴题．
1年前
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