f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+恒有f(xy)=f(x)+f(y)

2个回答

  • 用函数g(x)代表函数f(x)的反函数,写起来方便.

    将要证明的等式右边部分g(x1)*g(x2)作为整体带入带入函数 f 中得:

    f(g(x1)*g(x2))=f(g(x1))+f(g(x2))

    然而g是f函数的反函数,满足f(g(t))=t,符号t是为了看得更清楚,用x容易混淆.

    上等式变为:

    f(g(x1)*g(x2))=f(g(x1))+f(g(x2))=x1+x2

    此时可知,对于原函数f,自变量为g(x1)*g(x2)时,函数值为x1+x2;

    对应反函数g:自变量为x1+x2时,函数值为g(x1)*g(x2)

    得到了要求证的等式.

    note符号g=f^-1