第一个问题：
∵cosA＝2√5/5,∴sinA＝√［1－（cosA）^2］＝√［1－（2√5/5）^2］＝√5/5.
∴tanA＝sinA/cosA＝（√5/5）/（2√5/5）＝1/2,又tanB＝1/3,显然有：C＝180°－A－B,
∴tanC＝tan（180°－A－B）＝－tan（A＋B）＝－（tanA＋tanB）/（1－tanAtanB）
＝－（1/2＋1/3）/［1－（1/2）×（1/3）］＝－（3＋2）/（6－1）＝－1.
第二个问题：
∴tanC＜0,∴C是钝角,∴AB是△ABC中最长的边,∴AB＝1.
∵tanA＝1/2、tanB＝1/3,∴tanA＞tanB,∴A＞B,∴AC是△ABC中最短的边.
由tanC＝－1,得：C＝135°,∴sinC＝√2/2.
由tanB＝1/3,得：sinB/cosB＝1/3,∴（sinB）^2/（cosB）^2＝1/9,
∴（cosB）^2＝9（sinB）^2,∴1－（sinB）^2＝9（sinB）^2,∴10（sinB）^2＝1,
∴sinB＝1/√10.
由正弦定理,有：AC/sinB＝AB/sinC,∴AC＝ABsinB/sinC＝（1/√10）/（√2/2）＝√5/5.
即：△ABC的最短边的长为√5/5.