Question

方阵A的k次方和k+1次方的秩都为r. 求A的 k+s 次方的秩. 其中k,s均为正整数. 请写出思路,我猜答案是r

Answer 1

由题意知道方程A^kx=0和A^{k+1}x=0同解,用归纳法证明A^(k+n)x=0和A^(k+n+1)x=0同解.当n=0时结论成立.设结论对n-1成立,即A^(k+n-1)x=0和A^{k+n}x=0同解,则对n+1有,显然A^(k+n)x=0的解都是A^{k+n+1}x=0的解,反之,若A^{k+n+1}x=0,则Ax是A^(k+n)x=0的解,由归纳假设知,Ax是A^(k+n-1)x=0的解,于是A^(k+n)x=0.于是A^(k+n)x=0和A^(k+n+1)x=0同解.故有r(A^k)=r(A^k+s),s=0,1,2