解题思路：本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．
（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选：D．
点评：
本题考点： 等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
考点点评： 本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解答此题时要根据等边三角形三线合一的特点进行解答．