Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c 若 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1对任意x∈R成立

Answer 1

f(x)是二次函数

设f(x)=ax^2+bx+c

因为

f(0)=0

所以

c=0

f(x)=ax^2+bx

因为

f(x+1)=f(x)+x+1

所以

a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1

2ax+a+b=x+1

(2a-1)x=1-a-b

对所有的x都成立,

所以有:

2a-1=0,1-a-b=0

a=1/2,b=1/2

所以

f(x)=x^2/2+x/2