解题思路:(I)由题设条件,可求出函数的导数,利用f′(1)=0建立方程求出a的值;
(II)求导函数,再进行分类讨论,利用导数大于0,求得函数的单调增区间;利用导数小于0,求得函数的单调减区间.
(I)因为f(x)=lnx+ax-a2x2其定义域为(0,+∞),
所以f′(x)=
1
x−2a2x+a=
−2a2x2+ax+1
x=
−(2ax+1)(ax−1)
x
∵x=1是函数y=f(x)的极值点
∴f′(1)=0
∴1+a-2a2=0
∴a=−
1
2或a=1
经检验,a=−
1
2或a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点
(II)f′(x)=
1
x−2a2x+a=
−2a2x2+ax+1
x=
−(2ax+1)(ax−1)
x
若a=0,f′(x)=
1
x>0,∴函数的单调递增区间为(0,+∞)
若a≠0,令f′(x)=
−(2ax+1)(ax−1)
x=0,∴x1=−
1
2a,x2=
1
a
当a>0时,函数在区间(0,
1
a),f′(x)>0,函数为增函数;在区间(
1
a,+∞),f′(x)<0,函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0,
1
a),函数的单调递减区间为(
1
a,+∞)
当a<0时,函数在区间(0,−
1
2a),f′(x)>0,函数为增函数;在区间(−
1
2a,+∞),f′(x)<0,函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0,−
1
2a),函数的单调递减区间为(−
1
2a,+∞)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是正确求导.