已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a∈R).

2个回答

  • 解题思路:(I)由题设条件,可求出函数的导数,利用f′(1)=0建立方程求出a的值;

    (II)求导函数,再进行分类讨论,利用导数大于0,求得函数的单调增区间;利用导数小于0,求得函数的单调减区间.

    (I)因为f(x)=lnx+ax-a2x2其定义域为(0,+∞),

    所以f′(x)=

    1

    x−2a2x+a=

    −2a2x2+ax+1

    x=

    −(2ax+1)(ax−1)

    x

    ∵x=1是函数y=f(x)的极值点

    ∴f′(1)=0

    ∴1+a-2a2=0

    ∴a=−

    1

    2或a=1

    经检验,a=−

    1

    2或a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点

    (II)f′(x)=

    1

    x−2a2x+a=

    −2a2x2+ax+1

    x=

    −(2ax+1)(ax−1)

    x

    若a=0,f′(x)=

    1

    x>0,∴函数的单调递增区间为(0,+∞)

    若a≠0,令f′(x)=

    −(2ax+1)(ax−1)

    x=0,∴x1=−

    1

    2a,x2=

    1

    a

    当a>0时,函数在区间(0,

    1

    a),f′(x)>0,函数为增函数;在区间(

    1

    a,+∞),f′(x)<0,函数为减函数

    ∴函数的单调递增区间为(0,

    1

    a),函数的单调递减区间为(

    1

    a,+∞)

    当a<0时,函数在区间(0,−

    1

    2a),f′(x)>0,函数为增函数;在区间(−

    1

    2a,+∞),f′(x)<0,函数为减函数

    ∴函数的单调递增区间为(0,−

    1

    2a),函数的单调递减区间为(−

    1

    2a,+∞)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是正确求导.