(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点。

1个回答

  • (1)∵AB=B1B

    ∴四边形ABB1A1为正方形,

    ∴A1B⊥AB1

    又∵AC1⊥面A1BD,

    ∴AC1⊥A1B,

    ∴A1B⊥面AB1C1,

    ∴A1B⊥B1C1

    又在直棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥B1C1,

    ∴B1C1⊥平面ABB1A1…………………………………………6分

    (2)证明:设AB=BB1=a,CE=x,

    ∵D为AC的中点,且AC1⊥A1D,

    ∴A1B=A1C1=

    a

    又∵B1C1⊥平面ABB1A1,B1C1⊥A1B1

    ∴B1C1=a,BE=

    A1E=

    在△A1BE中,由余弦定理得

    BE2=A1B2+A1E2-2A1B·A1E·cos45°,

    即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2

    ·

    =2a-x,解得x=

    a,即E是C1C的中点

    ∵ D.E分别为A C.C1C的中点,∴DE∥AC1

    ∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD

    又∵PE

    平面BDE,∴平面ABD⊥平面BDE…………………………12分